二次方程、判別式與根的關係
先把方程整理成 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0，再辨認各項係數。b 和 c 須連同正負號代入。
二次方程公式
x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a)
整個 −b ± √(b² − 4ac) 都是分子。求實根時須有 b² − 4ac ≥ 0。
判別式
Δ = b² − 4ac
Δ > 0：兩個相異實根；Δ = 0：重實根；Δ < 0：沒有實根。
根與係數的關係
α + β = −b/a；αβ = c/a
α、β 是方程的兩個根，重根按兩次計算；用於實根分析時亦須檢查判別式。
由兩根建立方程
x² − (α + β)x + αβ = 0
這是首項係數為 1 的形式；乘以同一非零常數不會改變方程的根。
配方法與二次函數圖像
函數的零點、頂點、對稱軸和 y 截距各有不同意思。由圖像解讀資料時，也須留意定義域是否受實際情境限制。
配方法
ax² + bx + c = a[x + b/(2a)]² + c − b²/(4a)
a ≠ 0；括號外的 a 必須保留。
頂點式
y = a(x − h)² + k
頂點為 (h, k)，對稱軸為 x = h；a > 0 開口向上，a < 0 開口向下。
頂點的 x 坐標
h = −b/(2a)
再以 x = h 代入函數求 k；頂點不一定在 x 軸上。
圖像平移
y = f(x − h) + k
由 y = f(x) 的圖像向右平移 h、向上平移 k；負值代表相反方向。
指數定律與對數
下列實數指數及對數公式以正數底數為前提。對數的真數須為正，底數須大於 0 且不等於 1。
指數運算
aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ；aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
此處取 a > 0；不要把 aᵐ + aⁿ 寫成 aᵐ⁺ⁿ。
零、負及分數指數
a⁰ = 1；a⁻ⁿ = 1/aⁿ；a¹⁄ⁿ = ⁿ√a
此處 a > 0，n 為正整數；負指數表示倒數，並非負數。
對數定義
logₐ x = y ⇔ aʸ = x
a > 0、a ≠ 1、x > 0。
對數定律
logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y；logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y
x、y 均須大於 0；logₐ(x + y) 不能拆成兩個對數相加。
冪次與換底
logₐ(xᵏ) = k logₐ x；logₐ x = logᵦ x / logᵦ a
x > 0；換底後的 b 亦須大於 0 且不等於 1。
正變、反變與多項式
變分中的 k 是常數。先根據已知數據求 k，再寫出完整關係式；只有 y ∝ x 並不足以進行數值計算。
正變
y ∝ x ⇒ y = kx
y 與 x 成正比時，圖像通過原點；y = kx + c 且 c ≠ 0 並非正變。
反變
y ∝ 1/x ⇒ y = k/x
x ≠ 0；常數 k 可由 xy 求得。
聯變
z ∝ xy ⇒ z = kxy
若 z 與 x 正變、與 y² 反變，則 z = kx/y²，y ≠ 0。
餘式定理與因式定理
f(x) 除以 (x − a) 的餘式為 f(a)
若且唯若 f(a) = 0，(x − a) 是多項式 f(x) 的因式。
編製說明及延伸閱讀
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