估算與誤差
誤差的大小須連同量度單位及原來數值理解。以下以四捨五入及實際值大於零的情況說明。
絕對誤差
|近似值 − 實際值|
絕對誤差與原來數量使用相同單位。例如實際長度 12.4 cm、近似值 12 cm，絕對誤差為 0.4 cm。
相對誤差與百分誤差
相對誤差 = 絕對誤差 / 實際值；百分誤差 = 相對誤差 × 100%
實際值不得為零。相同的絕對誤差，對較小的實際值會造成較大的相對誤差。
四捨五入的範圍
取至最接近的單位 u，報告值為 A：A − u/2 ≤ 實際值 < A + u/2
例如長度取至最接近的 1 cm 為 18 cm，其實際值範圍為 17.5 cm ≤ 長度 < 18.5 cm。
指數與多項式運算
以下指數法則以整數指數為例。涉及除法、零次方或負指數時，底數不得為零。多項式的同類項須具有相同的字母部分及相同次數。
同底數相乘與相除
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ；aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
指數相加或相減的前提是底數相同；相除時 a ≠ 0。
冪的運算
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ；(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
例如 (x³)² = x⁶，而 (2x)³ = 8x³。括號內各因子都須取相應的冪。
零次方及負指數
a⁰ = 1；a⁻ⁿ = 1/aⁿ，a ≠ 0
例如 5⁰ = 1、2⁻³ = 1/8。負指數並不表示結果必定是負數。
合併同類項及分配律
ax + bx = (a + b)x；a(b + c) = ab + ac
3x² + 5x² = 8x²；3x² 與 5x 不是同類項。展開 −2(x − 3) 時，結果為 −2x + 6。
恆等式與因式分解
恆等式在變量的所有適用值下均成立。因式分解是把多項式改寫成因式相乘的形式，可視作展開括號的逆運算。
和的平方
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(x + 4)² = x² + 8x + 16；中間項來自兩個交叉乘積，不能省略。
差的平方
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9；最後一項仍為正。
平方差
a² − b² = (a + b)(a − b)
9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)。此公式不適用於把 a² + b² 分解為相同的兩個一次因式。
提取公因式
ab + ac = a(b + c)
6x² + 9x = 3x(2x + 3)。完成後可展開括號，核對是否與原式相同。
二次三項式
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)，因為 3 + 4 = 7、3 × 4 = 12。
代數分式與一次方程
代數分式的分母不得為零。約分只可消去共同因子，不能直接消去加減式中的個別項。
代數分式相加
a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)，b、d ≠ 0
通分後才可合併分子。例如 1/x + 1/2 = (x + 2)/(2x)，其中 x ≠ 0。
代數分式相除
(a/b) ÷ (c/d) = ad/(bc)，b、c、d ≠ 0
相除時須把除式取倒數。除式本身不能等於零，原來各分母的限制亦須保留。
一元一次方程
ax + b = c ⇒ x = (c − b)/a，a ≠ 0
移項可理解為在等號兩邊進行相同運算。若原式含括號或分式，應先按需要展開或通分。
二元一次聯立方程
可用代入法或消元法求兩個方程的共同解
例如 2x + y = 11、x − y = 1，兩式相加得 3x = 12，所以 x = 4，再代入求得 y = 3。
三角形與多邊形的角
下列多邊形內角和公式適用於不自交的簡單多邊形；正多邊形的各邊及各內角相等，n 為邊數且 n ≥ 3。
三角形內角和
三個內角的總和 = 180°
已知其中兩角為 48° 及 67°，另一角為 180° − 48° − 67° = 65°。
三角形外角
一個外角 = 兩個不相鄰內角的和
外角與相鄰內角合成一個平角，兩者總和為 180°。
多邊形內角和
(n − 2) × 180°
六邊形的內角和為 720°；這是所有內角的總和，不是每一個內角的大小。
正多邊形的每個內角及外角
每個內角 = (n − 2) × 180° / n；每個外角 = 360° / n
正六邊形每個內角為 120°、每個外角為 60°。凸多邊形沿同一方向取一周外角，總和為 360°。
畢氏定理與平方根
畢氏定理只適用於直角三角形。斜邊是直角所對的邊，也是三角形中最長的一邊。
畢氏定理
a² + b² = c²，c 為斜邊
兩條直角邊為 5 cm 及 12 cm，斜邊 c = √(25 + 144) = 13 cm。
求直角邊
a = √(c² − b²)
須先確認哪一條是斜邊，再把另一條直角邊的平方從斜邊平方中減去。
平方根的性質
√(ab) = √a × √b，a、b ≥ 0
平方根不能同樣分配到加法：√(9 + 16) = 5，而 √9 + √16 = 7。
直角三角比
以下 θ 為直角三角形的一個銳角。「對邊」及「鄰邊」須相對所選的 θ 判斷；斜邊則始終位於直角的對面。
正弦 sin
sin θ = 對邊 / 斜邊
若對邊為 3、斜邊為 5，則 sin θ = 3/5。
餘弦 cos
cos θ = 鄰邊 / 斜邊
若鄰邊為 4、斜邊為 5，則 cos θ = 4/5。
正切 tan
tan θ = 對邊 / 鄰邊
若對邊為 3、鄰邊為 4，則 tan θ = 3/4。以度數計算時，須確認計算機使用 DEG 模式。
面積、體積與統計
B 代表底面積，h 代表垂直高，r 代表圓形底面的半徑。統計公式中，頻數是各數值出現的次數。
柱體體積
V = Bh；圓柱 V = πr²h
圓柱是柱體的一種，底面為圓形。體積須用立方單位表示。
圓柱總表面面積
A = 2πr² + 2πrh
完整封閉圓柱包括兩個圓形底面及一個曲面；開口容器須按實際情況扣除相應底面。
頻數表的平均數
平均數 = 各「數值 × 頻數」的總和 / 總頻數
數值 2 出現三次，數值 5 出現兩次，平均數 = (2 × 3 + 5 × 2) / 5 = 3.2。
圓形圖扇形角度
角度 = 該類別頻數 / 總頻數 × 360°
某類別佔總數 25%，其扇形角度為 90°。所有類別的角度總和應為 360°。
編製說明及延伸閱讀
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