高中數學：必修公式與使用條件
集中整理二次方程、數列、三角學、概率及標準差，保留各項公式的符號及限制說明。
編製日期：2026年10月16日。各校進度及評核要求不同，請配合課本和老師指示使用。高中數學內容只涵蓋必修部分。二次方程、判別式與根的關係
先把方程整理成 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0，再辨認各項係數。b 和 c 須連同正負號代入。
| 項目 | 公式 | 說明及使用條件 |
|---|---|---|
| 二次方程公式 | x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a) | 整個 −b ± √(b² − 4ac) 都是分子。求實根時須有 b² − 4ac ≥ 0。 |
| 判別式 | Δ = b² − 4ac | Δ > 0：兩個相異實根；Δ = 0：重實根；Δ < 0：沒有實根。 |
| 根與係數的關係 | α + β = −b/a；αβ = c/a | α、β 是方程的兩個根，重根按兩次計算；用於實根分析時亦須檢查判別式。 |
| 由兩根建立方程 | x² − (α + β)x + αβ = 0 | 這是首項係數為 1 的形式；乘以同一非零常數不會改變方程的根。 |
等差數列、等比數列與求和
a 是首項，n 是正整數項數；等差數列的 d 為公差，等比數列的 r 為公比。須先分清楚所求是第 n 項還是前 n 項和。
| 項目 | 公式 | 說明及使用條件 |
|---|---|---|
| 等差數列通項 | Tₙ = a + (n − 1)d | 第 1 項是 a，第 n 項與首項相差 n − 1 個公差。 |
| 等差數列前 n 項和 | Sₙ = n[2a + (n − 1)d]/2 = n(a + Tₙ)/2 | 只適用於相鄰兩項差相同的數列。 |
| 等比數列通項 | Tₙ = arⁿ⁻¹ | 若以相鄰項相除求公比，分母須不等於 0。 |
| 等比數列前 n 項和 | Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)，r ≠ 1 | r = 1 時，Sₙ = na；不可把 r = 1 代入有分母 1 − r 的公式。 |
| 複利增長與折舊 | 終值 = 初值 × (1 ± p)ⁿ | p 為每期增長率或折舊率的小數值，n 為期數；每期以新的數值作計算基準。 |
一般三角形的三角學與扇形
a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊。正弦公式、餘弦公式和三角形面積公式可用於一般三角形，並不限於直角三角形。
| 項目 | 公式 | 說明及使用條件 |
|---|---|---|
| 正弦公式 | a/sin A = b/sin B = c/sin C | 用正弦求角時，須考慮 θ 與 180° − θ 可能有相同正弦值，並核對其餘條件。 |
| 餘弦公式 | c² = a² + b² − 2ab cos C | C 是 a、b 兩邊的夾角；c 是其對邊。 |
| 三角形面積 | 面積 = ½ab sin C | 須使用兩邊及它們的夾角，不能任意選一個角代入。 |
| 扇形弧長與面積 | 弧長 = (θ/360°) × 2πr；面積 = (θ/360°) × πr² | θ 以度數表示；扇形周界還須加兩條半徑。 |
| 基本三角恆等式 | sin²θ + cos²θ = 1；tan θ = sin θ/cos θ | 第二式須 cos θ ≠ 0；由平方值還原 sin 或 cos 時，要按角度所在象限判斷正負。 |
概率、條件概率與獨立事件
互斥表示兩事件不能同時發生；獨立表示一事件的發生不影響另一事件的概率。兩者意思不同。
| 項目 | 公式 | 說明及使用條件 |
|---|---|---|
| 餘事件 | P(Aᶜ) = 1 − P(A) | Aᶜ 表示 A 不發生；計算「至少一次」時可考慮其餘事件。 |
| 加法公式 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | 互斥時 P(A ∩ B) = 0，才可直接把兩個概率相加。 |
| 條件概率 | P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) | P(B) > 0；已知 B 發生後，樣本範圍須相應收窄。 |
| 乘法公式 | P(A ∩ B) = P(A)P(B | A) | P(A) > 0。只有兩事件獨立時，才可改寫成 P(A)P(B)。 |
| 獨立事件 | P(A ∩ B) = P(A)P(B) | 不放回抽取通常會改變下一次的概率，不能直接當作獨立。 |
平均數、標準差與標準分
以下為整組數據的標準差公式。頻數表的 N 是總頻數，不是不同數值的種類數；組距資料以組中點計算時，結果為估計值。
| 項目 | 公式 | 說明及使用條件 |
|---|---|---|
| 頻數表平均數 | x̄ = Σfx/N，N = Σf | x 為數值，f 為相應頻數；N > 0。分組連續數據以組中點代替 x。 |
| 標準差 | σ = √[Σf(x − x̄)²/N] | 亦可寫成 √[Σfx²/N − x̄²]；不可把 Σfx² 誤算成 (Σfx)²。 |
| 標準分 | z = (x − x̄)/σ | σ > 0；z 表示數值與平均數的距離相當於多少個標準差。跨組比較仍須考慮資料背景。 |
| 數據線性變換 | 若 y = ax + b，則 ȳ = ax̄ + b；σᵧ = |a|σₓ | 加同一常數不會改變離散程度；乘同一常數時，標準差乘以該常數的絕對值。 |
| 四分位距 | IQR = Q₃ − Q₁ | Q₁、Q₃ 分別為下、上四分位數；取位方法按課本或題目指示。 |